A fractional step method based on a pressure Poisson equation for incompressible flows with variable density

A new fractional time technique for solving incompressible flows with variable density is proposed. The main feature of the method is that, as opposed to other known algorithms, the pressure is computed by solving a Poisson equation, which greatly reduces the computational cost. The method is proved to be stable and is numerically illustrated. To cite this article: J.-L. Guermond, A. Salgado, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Une technique de pas fractionnaire basée sur une équation de Poisson pour les fluides incompressibles à densité variable. Nous proposons une famille d’algorithmes à pas fractionnaire basés sur une équation de Poisson pour l’approximation des fluides incompressibles à densité variable. On démontre que la méthode est stable. Pour citer cet article : J.-L. Guermond, A. Salgado, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée L’objectif de cette Note est d’introduire une famille d’algorithmes à pas fractionnaires pour l’approximation des équations de Navier–Stokes incompressible à densité variable (1), (2). Les méthodes de pas fractionnaires consitent à remplacer à chaque pas de temps la résolution d’un problème de Stokes généralisé par deux sous-problèmes où la vitesse et la pression sont découplés. Les méthodes de pas fractionnaires usuelles sont toutes basées sur une étape de projection conduisant à résoudre un problème du second ordre à coefficients variables du type (3), voir e.g. [1,2,7,9]. Le problème (3) est elliptique et ne présente pas vraiment de difficulté théorique ; toutefois, il doit être assemblé et preconditionné à chaque pas de temps, ce qui peut être coûteux. Nous proposons dans cette Note une famille d’algorithmes à pas fractionnaires où (3) est remplacé par un problème de Poisson, rendant ainsi la méthode de résolution très rapide car l’assemblage et le préconditionnement ne sont faits qu’une seule fois. E-mail addresses: [email protected] (J.-L. Guermond), [email protected] (A. Salgado). 1 LIMSI (CNRS-UPR 3251), BP 133, 91403 Orsay cedex, France. 1631-073X/$ – see front matter © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2008.06.006 914 J.-L. Guermond, A. Salgado / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 913–918 Le point de départ de l’argument est la version incrémentale de l’algorithme de correction de pression pour les fluides incompressibles à densité constante, voir e.g. [6,10]. (C’est une version plus précise de l’algorithme non incrémental de Chorin–Temam [3,11].) Comme remarqué dans [4,6], la vitesse solénoidale (i.e., la vitesse projetée) peut être complètement éliminée de l’algorithme. Après élimination, l’algorithme résultant correspond à l’approximation de (4) où le pas de temps est remplacé par . Formellement (4) est une perturbation d’ordre O( 2) de (1), et c’est pour cette raison que la version incrémentale de l’algorithme de correction de pression est formellement précis à l’ordre deux lorsque la densité est constante. L’idée sur laquelle repose le nouvel algorithme présenté dans cette Note est d’utiliser la perturbation (4) aussi pour les fluides à densité variable. Soit t le pas de temps et posons t := n t , n = 0,N − 1, T := N t . On choisit maintenant un réel positif χ dans l’intervalle (0, ρmin], i.e., χ ∈ (0, ρmin], et on définit := t/χ . Dans les applications numériques rapportées à la fin de la Note nous avons pris χ = ρmin := minx∈Ω ρ0(x) > 0. En approchant la dérivée temporelle de la vitesse dans (4) par un quotient différentiel d’orde un, on obbtient l’algorithme (5)–(6)–(7)–(8). La pricipale caractéristique de cet algorithme est que (7) est un problème de Poisson, qui peut-être résolu rapidement contrairement à (3). Nous ne détaillons pas comment réaliser (5), mais il suffit en général d’utiliser un algorithme monotone. Le principal résultat de cette Note est le Théorème 3.1. C’est à notre connaissance le premier résultat de stabilité connu pour un algorithme à pas fractionnaire basé sur un problème de Poisson pour des fluides incompressibles à densité variable. On peut démontrer le même type de résultat (Corollaire 4.1) pour l’algorithme totalement discrétisé (10)–(13), pourvu que les espaces discrets soient conformes et que la condition LBB soit satisfaite. Une version formellement d’ordre deux de la méthode est obtenue en approchant la dérivée temporelle de la vitesse dans (4) par le schéma d’orde deux à trois pas, BDF2 : (14)–(17). La correction de pression (17) correspond à la version rotationnelle de (4) pour laquelle pt = φ − μ∇·u. C’est pour cette version de la correction de pression que les meilleurs résultats de convergence connus actuellement on été prouvés lorsque la densité est constante, [8]. Bien que les tests numériques montrent que (14)–(17) est stable et convergent, nous n’avons pas encore pu établir ce résultat. Les illustrations numériques de la section 6 ont été obtenus avec (14)–(17).